Question

用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m³.

解析试题分析：令容器底面宽为m,则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m，由实际意义可得0<x<1.6，由长方体体积写出容积的表达式,求导得，进而求得0<x<1时，；1<x<1.6时，，可知当时有最大值，求之得最大容积．
解：设容器底面宽为x m，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m，
由解得0<x<1.6，                                 3分
设容器的容积为y，
则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝                6分
,
令＝0，即,
解得x＝1，或x＝ (舍去)．                              8分
∵0<x<1时，；1<x<1.6时，，
∴在定义域(0,1.6)内x＝1是唯一的极值点，且是极大值点，
∴当x＝1时，y取得最大值为1.8，                             10分
此时容器的高为3.2－2＝1.2m，
因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8．      12分
考点：利用导数求函数的最值，函数的应用.