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已知函数为小于的常数).
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)存在使不等式成立,求实数的取值范围.

(1)的单调递增区间为,递减区间为;(2).

解析试题分析:先求出导函数,(1)将代入得到,进而由可求出函数的单调增区间与减区间;(2)先将存在使不等式成立等价转化成;然后由,得,进而对三种情况,分别求出函数上的最大值, 进而求解不等式得出的取值范围结合各自的条件求得各种情况下的取值范围,最后这三种情况的的取值范围的并集即可.

(1) 当时,
所以由,由
所以的单调递增区间为,递减区间为
(2) ,令,得
①当时,即时,上单调递增
,解得,所以满足题意
②当时,即
上单调递增,上单调递减
,解得,所以当时满足题意
③当时,即时,上单调递减
,解得,所以时满足题意
综上所述.
考点:1.函数的单调性与导数;2.函数的最值与导数;3.不等式存在成立问题;4.分类讨论的思想.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数f(x)=ax2+bln x在x=1处有极值.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数y=f(x)的单调性并求出单调区间.

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用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积.

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已知函数
(1)当a=1时,求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的值;
(3)若对任意,且恒成立,求a的取值范围.

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已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数.
(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;
(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1,x2,设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).如果直线AB的斜率为-,求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度;
(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立,求实数m,a,b满足的条件.

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设函数.
(1)若时有极值,求实数的值和的极大值;
(2)若在定义域上是增函数,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(14分)(2011•天津)已知函数f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,其中t∈R.
(Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

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已知函数(其中),为f(x)的导函数.
(1)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);
(2)若在区间中存在,使得,求的取值范围;
(3)若,试证明:对任意恒成立.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知
(1)证明函数上是增函数;
(2)用反证法证明方程没有负数根.

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