Question

已知f(x)=sin4x+cos4x+2sin3xcosx-sinxcosx-

3

4

．
（1）求f（x）的周期和单调减区间；
（2）设A为锐角三角形的内角，且f(A)=

1

4

，求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）通过配方利用平方关系式、二倍角公式，然后利用两角和的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x）的周期和单调减区间；
（2）设A为锐角三角形的内角，利用f(A)=

1

4

，结合A的范围求出A的值，然后求出tanA的值．

解答：解：（1）因为f(x)=sin4x+cos4x+2sin3xcosx-sinxcosx-

3

4

=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x+sinxcosx（2sin²x-1）-

3

4

=

1

4

-

1

2

sin22x-

1

2

sin2xcos2x
=

1

4

-

1

4

(1-cos4x)-

1

4

sin4x
=

1

4

(cos4x-sin4x)
=

2

4

cos(4x+

π

4

)．
∴f（x）的周期为：

2π

4

=

π

2

，
因为2kπ≤4x+

π

4

≤ 2kπ+π   ，k∈Z，
所以

kπ

2

-

π

16

≤x≤

kπ

2

+

3π

16

   k∈Z
函数的单调减区间为[

kπ

2

-

π

16

，

kπ

2

+

3π

16

]     k∈Z．
（2）由f（A）=

2

4

cos(4A+

π

4

)=

1

4

，得cos(4A+

π

4

)=

2

2

∵0＜A＜

π

2

∴

π

4

＜4A+

π

4

＜

9π

4

，4A+

π

4

=

7π

4

，
2A=

3π

4

．
于是tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-1，
解得tanA=1+

2

或tanA=1-

2

，
因为tanA＞0，
∴tanA=1+

2

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，平方关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．