Question

18．已知A、B为△ABC的内角，向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=$\frac{5}{13}$，tanA=$\frac{4}{3}$，则cosB的值为（　　）

• A． -$\frac{16}{65}$
• B． $\frac{16}{65}$
• C． $\frac{63}{65}$
• D． -$\frac{63}{65}$

Answer 1

分析 由向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式及诱导公式，可得sinC，由同角的平方关系和商数关系，可得sinA，cosA，运用正弦定理可得C为锐角，再由两角和的余弦公式，计算即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），
则$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=$\frac{5}{13}$，
tanA=$\frac{4}{3}$，即$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{4}{3}$，sin²A+cos²A=1，
解得sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{3}{5}$，
由sinA＞sinC，可得a＞c，即A＞C，C为锐角，
可得cosC=$\frac{12}{13}$，
则cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）
=-（$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$）=-$\frac{16}{65}$．
故选A．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查三角函数的诱导公式和两角和的正弦、余弦公式，考查运算能力，属于中档题．