Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（2，1），且直线l：x-2y-$\sqrt{6}$=0过椭圆C的一个焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l′平行于直线l，且与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM的倾斜角为θ₁，直线AN的倾斜角为θ₂，试探究θ₁+θ₂是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知c=$\sqrt{6}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）θ₁+θ₂=π．理由如下：设直线l′的方程为x-2y+m=0，与$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1联立，可得8y²-4my+m²-8=0，利用韦达定理，由此得到k_AM=-k_AN，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，c=$\sqrt{6}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，∴a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线l′的方程为x-2y+m=0，与$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1联立，可得8y²-4my+m²-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{m}{2}$，y₁y₂=$\frac{{m}^{2}}{8}$-1，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{2}$-4，
∴k_AM+k_AN=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}-（2+m）{（y}_{1}+{y}_{2}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
∴tanθ₁+tanθ₂=0，
∴θ₁+θ₂=π

点评 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．