Question

15．利用不等式性质“若a-b＞0，则a＞b”，可以用来比较两个数或两个式子的大小
（1）设a≥0，b≥0，试探索$\frac{a+b}{2}$与$\sqrt{ab}$的大小关系并结合上述性质加以证明；
（2）若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂=1，求证：1≤$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，作差并配方即可证明，
（2）由基本不等式可得到2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤x₁+x₂=1，同时加上1即可得到1≤x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2，配方即可证明．

解答 解：（1）∵a≥0，b≥0，
∴$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$=$\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}$=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}$≥0，当且仅当a=b时取等号，
∴$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
（2）由基本不等式知0≤2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤x₁+x₂=1，
于是有1≤x₁+x₂+2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2，
即1≤（$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$）²≤2，
∴1≤$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了作差法比较大小以及基本不等式的应用，属于基础题．