Question

8．已知函数f（x）=x³-ax²+x．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[1，2]为单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；
（2）函数f（x）在[1，2]上单调递增，f'（x）=3x²-2ax+1≥0在[1，2]上恒成立，可得2a≤3x+$\frac{1}{x}$在[1，2]上恒成立，求出右边的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-x²+x，
∴f′（x）=3x²-2x+1，
∴f′（2）=3×2²-2×2+1=9，
∵f（2）=8-4+2=6，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程y-6=9（x-2），即9x-y-12=0；
（2）∵函数f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f'（x）=3x²-2ax+1≥0在[1，2]上恒成立，
∴2a≤3x+$\frac{1}{x}$在[1，2]上恒成立
令g（x）=3x+$\frac{1}{x}$，则g'（x）=$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）=3x+$\frac{1}{x}$在1，2]上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=4
∴2a≤4，
∴a≤2．

点评 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的转换等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．