Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），g（x+1）=log₂（3x+2），求在g（x）≥f（x）成立的条件下，函数y=g（x）-f（x）的值域．

Answer 1

由题设，g（x）=log₂（3x-1）--（2分）
由g（x）≥f（x）即：log₂（3x-1）≥log₂（x+1）得

3x-1≥x+1 3x-1＞0 x+1＞0

?

x≥1 x＞ 1 3 x＞-1

⇒x≥1
∴使g（x）≥f（x）的x的取值范围是
x≥1y=g（x）-f（x）=log₂（3x-1）-log₂（x+1）
=log2

3x-1

x+1

=log2(3-

4

x+1

)
∵x≥1∴1≤3-

4

x+1

＜3
又∵y=log₂x在x∈（0，+∞）上单调递增
∴当x≥1时，log23＞log2(3-

4

x+1

)≥log21=0，
∴所求函数的值域为[0，log₂3）