Question

已知f（x）=

kx+1，x≤0 lnx x ，x＞0

，则关于F（x）=f（f（x））+a的零点个数，判断正确的是（　　）

• A、k＜0时，若a≥e，则有2个零点
• B、k＞0时，若a＞e，则有4个零点
• C、无论k为何值，若-

  1

  e

  ＜a＜0，都有2个零点
• D、k＞0时，若0≤a＜e，则有3个零点

Answer 1

考点：分段函数的应用,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+a为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+a的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+a的零点个数；

解答：解：∵f（x）=

kx+1，x≤0 lnx x ，x＞0

，
（1）x＞1时，lnx＞0，

lnx

x

＞0，
∴y=f（f（x））+a=

ln lnx x +a lnx x

lnx x

，此时的零点为x=1不满足要求，
（2）0＜x＜1时，lnx＜0lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；
（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k²x+k+1，则k＞0时，kx≤-1，k²x≤-k，可得k²x+k≤0，y有一个零点，
若k＜0时，则k²x+k≥0，y没有零点，
（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=

1

e

，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，
综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；
故选：B．

点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x））+a的解析式，考查学生的分析能力，是一道难题；