Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（3-a）lnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，求a的值；
（2）设f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：f（x₁）+f（x₂）＞-5．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出a的值，
（2）根据x₁，x₂为f′（x）=0的两根，求出a的范围，再根据韦达定理得到f（x₁）+f（x₂）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），构造函数h（a）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），a∈（2，3），求出函数的最小值大于5即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=x-a+$\frac{3-a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+3-a}{x}$，
∴k=f′（1）=4-2a，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x-y+1=0垂直，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴4-2a=-$\frac{1}{2}$，
解得a=$\frac{9}{4}$
（2）由题意，x₁，x₂为f′（x）=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4（3-a）＞0}\\{a＞0}\\{3-a＞0}\end{array}\right.$，
∴2＜a＜3，
又∵x₁+x₂=a，x₁x₂=3-a，
∴f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$（x₁²+x₂²）-a（x₁+x₂）+（3-a）lnx₁x₂，
=f（x）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），
设h（a）=-$\frac{1}{2}$a²+a-3+（3-a）ln（3-a），a∈（2，3），
则h′（a）=-a-ln（3-a），
∴h″（a）=-1+$\frac{1}{3-a}$=$\frac{a-2}{3-a}$＞0，
故h′（a）在（2，3）递增，又h′（2）=-2＜0，
当a→3时，h′（a）→+∞，
∴?a₀∈（2，3），
当a∈（2，a₀）时，h（a）递减，当a∈（a₀，3）时，h（a）递增，
∴h（a）_min=h（a₀）=-$\frac{1}{2}$a₀²+a₀-3+（3-a₀）ln（3-a₀）＞-$\frac{1}{2}$a₀²+a₀-3+（3-a₀）（-a₀）=$\frac{1}{2}$a₀²-2a₀-3=$\frac{1}{2}$（a₀-2）²-5＞-5．
∴?a∈（2，3），h（a）＞-5，
综上，f（x₁）+f（x₂）＞-5．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．