Question

13．设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+c在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在[-1，2]上的最大值是9，求f（x）在[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的极值，列出方程组求解a，b即可．
（2）利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最大值，推出c，然后求解函数的最小值即可．

解答 解：（1）函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+c，可得f′（x）=6x²+6ax+3b
因为函数f（x）在x=1及x=2时取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$解得a=-3，b=4．
（2）由（1）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+c，f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈[-1，1]时，f′（x）＞0；当x∈（1，2]时，f′（x）＜0．
f（x）在[-1，2]上的最大值是f（1）=5+c=9，c=4．
此时f（-1）=-19，f（2）=8，所以最小值在x=-1时取得，为-19．

点评 本题考查函数的极值的求法函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．