Question

8．若f（x）在R上可导，$f（x）={x^2}+2f'（\frac{π}{2}）x+sin2x$，则$\int_0^1{f（x）dx}$=（　　）

• A． $\frac{7}{3}-π-cos2$
• B． $\frac{11}{6}-π+\frac{1}{2}cos2$
• C． $\frac{17}{6}-π-\frac{1}{2}cos2$
• D． $\frac{11}{6}-π-\frac{1}{2}cos2$

Answer 1

分析 先求导，再求导，求出函数的表达式，再根据定积分的计算法则计算即可．

解答 解：f′（x）=2x+2f′（$\frac{π}{2}$）+2cos2x，
∴f′（$\frac{π}{2}$）=2×$\frac{π}{2}$+2f′（$\frac{π}{2}$）+2cosπ，
∴f′（$\frac{π}{2}$）=2-π，
∴f（x）=x²+2（2-π）x+sin2x，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（x²+2（2-π）x+sin2x）dx=（$\frac{1}{3}$x³+（2-π）x²-$\frac{1}{2}$cos2x）|${\;}_{0}^{1}$
=（$\frac{1}{3}$+2-π-$\frac{1}{2}$cos2）-（0+0-$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{6}$-π-$\frac{1}{2}$cos2，
故选：C

点评 本题考查了导数的运算法则和定积分的计算，属于基础题．