Question

18．设不等式|2x-1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．
（1）试比较ab+1与a+b的大小．
（2）设max{A}表示数集A中的最大数，且$h=max\{\frac{2}{{\sqrt{a}}}，\frac{a+b}{{\sqrt{ab}}}，\frac{ab+1}{{\sqrt{b}}}\}$，求证：h＞2．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的解法求解可得M，然后利用作差法证明不等式即可．
（2）判断三个数都是正数，然后求解3个数的乘积，推出h的范围，即可得到结果．

解答 解 （1）不等式|2x-1|＜1，可得-1＜2x-1＜1，即0＜x＜1，所以不等式的解集为：M={x|0＜x＜1}，
∵a，b∈M，
∴ab+1-a-b=（a-1）（b-1）＞0，
∴ab+1＞a+b…..（6分）
（2）设max{A}表示数集A中的最大数，且$h=max\{\frac{2}{{\sqrt{a}}}，\frac{a+b}{{\sqrt{ab}}}，\frac{ab+1}{{\sqrt{b}}}\}$，∵$h≥\frac{2}{{\sqrt{a}}}，h≥\frac{a+b}{{\sqrt{ab}}}，h≥\frac{ab+1}{{\sqrt{b}}}$，3个数都是正数，
∴${h^3}≥\frac{2（a+b）（ab+1）}{ab}$
由（1）ab+1＞a+b
∴${h^3}＞\frac{{2{{（a+b）}^2}}}{ab}≥\frac{{2{{（2\sqrt{ab}）}^2}}}{ab}=8$，
h＞2…..（12分）
$或∵ab+1≥2\sqrt{ab}，a+b≥2\sqrt{ab}（当且仅当a=b=1时取等号）$，
∴${h^3}≥\frac{2（a+b）（ab+1）}{ab}＞\frac{{8{{（\sqrt{ab}）}^2}}}{ab}=8$
（∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴等号取不到）
∴h＞2．

点评 本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，函数的最值的应用，考查计算能力．