Question

20．已知函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$（x＞0）的图象经过点（2，1）．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性：

Answer 1

分析 （1）把点（2，1）代入f（x）中，即可求出a的值；
（2）根据单调性的定义即可证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x-$\frac{a}{x}$（x＞0）的图象经过点（2，1），
∴f（2）=2-$\frac{a}{2}$=1，
解得a=2；
（2）函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$在区间（0，+∞）上是单调增函数，
证明：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{2}{{x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$）
=（x₁-x₂）（1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$）；
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是（0，+∞）上的单调增函数．

点评 本题考查了求函数的解析式与利用定义证明函数的单调性问题，是基础题目．