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动点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,记点的轨迹为曲线.

(I)求曲线的方程;

(II)设直线与曲线交于两点,为坐标原点,求面积的最大值.

 

【答案】

(I);(II)

【解析】

试题分析:(I)找出题中的相等关系,列出化简即得曲线的方程;(II)先用弦长公式得,由点到直线距离公式得的高,列出面积表达式,最后选择合适的方法求面积的最大值.

试题解析:(I)设是点到直线的距离,根据题意,点的轨迹就是集合

       

由此得              

将上式两边平方,并化简得      

所以曲线的方程为        

(II)由

.    

.        

于是

        

又原点到直线的距离,       

所以(当时取等号)

所以面积的最大值为.      

考点:1、曲线方程求法;2、直线与圆锥曲线位置关系;3、解析几何最值问题.

 

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(2012•韶关二模)在直角坐标系xOy中,动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线x=2的距离之比是
2
2
,设动点P的轨迹为C1,Q是动圆C2x2+y2=r2(1<r<2)上一点.
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(2)设曲线C1上的三点A(x1y1),B(1,
2
2
),C(x2y2)
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(1)求动点的轨迹的方程;

(2)设曲线上的三点与点的距离成等差数列,若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率

(3)若直线和动圆均只有一个公共点,求两点的距离的最大值.

 

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