Question

已知函数f（x）=

4x+2x+1+a

2x

．
（1）a的值为多少时，f（x）是偶函数？
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可求出a的值．
（2）根据f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，利用导数 即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

4x+2x+1+a

2x

=2x+2+

a

2x

=2x+2+a?2-x，
∴若f（x）是偶函数，
则f（-x）=f（x），
即2^-x+2+a?2^x=2^x+2+a?2^-x，
∴（a-1）（2^x-2^-x）=0，
即a-1=0，解得a=1．
（2）∵f（x）=

4x+2x+1+a

2x

=2^x+2+a?2^-x，
∴f'（x）=2^xln?2-a?2^-xln?2，
若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则f'（x）=2^xln?2-a?2^-xln?2≥0恒成立，
即a≤

2x

2-x

=4x在[0，+∞）上恒成立，
∵在[0，+∞）上，4^x≥1，
∴a≤1，
即实数a的取值范围a≤1．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用导数将单调性问题转化为不等式恒成立是解决本题的关键．