Question

17．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=2．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化方法求出直线l的直角坐标方程；消去参数得到曲线C的普通方程；
（Ⅱ）利用参数法求曲线C上的点到直线l的最大距离．

解答 解：（Ⅰ）由ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=2得ρ（$\sqrt{3}$sinθ-cosθ）=4，
∴l：x-$\sqrt{3}y+4=0$…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$得C：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．…（5分）
（Ⅱ）在C上任取一点P（cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），则点P到直线l的距离为d=$\frac{|cosθ-3sinθ+4|}{2}$=$\frac{|\sqrt{10}cos（θ+α）+4|}{2}$．…（7分）
∴当cos（θ+α）=1，d_max=2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．