Question

15．已知函数f（x）=x²+2ax+3-a，x∈[-2，2]的最小值是g（a）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）是否存在实数a，使g（a）=5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先对函数进行配方得f（x）=x²+2ax+3-a=（x+a）²+3-a-a²，再分类讨论研究函数的最小值；
（2）由（1）的分段函数，分类讨论求解方程g（a）=5，可得答案．

解答 解：（1）由题意，f（x）=x²+2ax+3-a=（x+a）²+3-a-a²，
当-a≤-2，即a≥2时，函数f（x）在[-2，2]上为增函数，
最小值g（a）=f（-2）=2+2a+3=-5a+7．
当-2＜-a＜2，即-2＜a＜2时，函数f（x）在[-2，-a]上为减函数，在[-a，2]上为增函数，
最小值g（a）=f（-a）=3-a-a²，
当-a≥2，即a≤-2时，函数f（x）在[-2，2]上为减函数，
最小值g（a）=f（2）=2-2a+3=3a+7
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}3a+7，a≤-2\\-{a}^{2}-a+3，-2＜x＜2\\-5a+7，a≥2\end{array}\right.$
（2）当a≤-2时，解g（a）=3a+7=5得：a=-$\frac{2}{3}$（舍去），
当-2＜a＜2时，方程3-a-a²=5无解，
当a≥2时，解g（a）=-5a+7=5得：a=$\frac{2}{5}$（舍去），
综上，不存在实数a，使g（a）=5．

点评 本题以二次函数为载体，考查二次函数的最小值，关键是利用配方法，进行恰当的分类讨论．