Question

记函数f_n(x)＝a·xⁿ－1(a∈R，n∈N^*)的导函数为f′_n(x)，已知f′₃(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)设函数g_n(x)＝f_n(x)－n²ln x，试问：是否存在正整数n使得函数g_n(x)有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由；
(3)若实数x₀和m(m>0且m≠1)满足＝，试比较x₀与m的大小，并加以证明．

Answer 1

（1）a＝1   （2）存在n＝1，使得函数g_n(x)有且只有一个零点．
（3）见解析

解：(1)f₃′(x)＝3ax²，由f₃′(2)＝12得a＝1.
(2)g_n(x)＝xⁿ－n²ln x－1，
g′_n(x)＝nx^n－1－＝.
因为x>0，令g_n′(x)＝0得x＝，
当x>时，g_n′(x)>0，g_n(x)是增函数；
当0<x<时，g_n′(x)<0，g_n(x)是减函数．
所以当x＝时，g_n(x)有极小值，也是最小值，
g_n()＝n－nln n－1.
当x→0时，g_n(x)→＋∞；
当x→＋∞时，g_n(x)→＋∞.
当n≥3时，g_n()＝n(1－ln n)－1<0，函数g_n(x)有两个零点；
当n＝2时，g_n()＝－2ln 2＋1<0，函数g_n(x)有两个零点；
当n＝1时，g_n()＝0，函数g_n(x)有且只有一个零点．
综上所述，存在n＝1，使得函数g_n(x)有且只有一个零点．
(3)f_n′(x)＝n·x^n－1.
因为＝，
所以＝，
解得x₀＝.
则x₀－m＝，
当m>1时，(n＋1)(mⁿ－1)>0.
设h(x)＝－x^n＋1＋x(n＋1)－n(x≥1)，则h′(x)＝－(n＋1)xⁿ＋n＋1＝－(n＋1)·(xⁿ－1)≤0，当且仅当x＝1时取等号，
所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．
又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，
所以x₀－m<0，所以x₀<m.
当0<m<1时，(n＋1)(mⁿ－1)<0.
设h(x)＝－x^n＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，
则h′(x)＝－(n＋1)xⁿ＋n＋1＝－(n＋1)·(xⁿ－1)≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在(0,1]上是增函数．
又因为0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，
所以x₀－m>0，所以x₀>m.
综上所述，当m>1时，x₀<m，当0<m<1时，x₀>m.