Question

2．设函数$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{a-x}}}$和g（x）=ln（-x²+4x-3）的定义域分别为集合A和B．
（1）当a=2，求函数y=f（x）+g（x）的定义域；
（2）若A∩（∁_RB）=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=2时求出函数y=f（x）+g（x）的定义域即可；
（2）由集合A、B，根据补集与交集的定义，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）a=2时，函数$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{a-x}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2-x}}$，
g（x）=ln（-x²+4x-3），
∴函数y=f（x）+g（x）=$\frac{1}{\sqrt{2-x}}$+ln（-x²+4x-3），
应满足$\left\{\begin{array}{l}{2-x＞0}\\{{-x}^{2}+4x-3＞0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
即1＜x＜2，
∴函数y的定义域为（1，2）；
（2）∵A=（-∞，a），B=（1，3），
∴∁_RB=（-∞，1]∪[3，+∞）；
若A∩（∁_RB）=A，则a≤1，
∴实数a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题目．