Question

8．在R上定义运算?：x?y=x（1+y），若不等式：（x-a）?（x+a）＜2对实数x∈[-2，2]恒成立，则a的范围为（-∞，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由定义可知：（x-a）?（x+a）＜2 转换为不等式 x²+x-a²-a-2＜0 在x∈[-2，2]上恒成立，即：x²+x＜a²+a+2 在x∈[-2，2]上恒成立．

解答 解：由定义可知：（x-a）?（x+a）＜2 转换为：
（x-a）[1+（x+a）]＜2⇒不等式 x²+x-a²-a-2＜0 在x∈[-2，2]上恒成立；
即：x²+x＜a²+a+2  在x∈[-2，2]上恒成立；
令g（x）=x²+x，则g（x）在[-2，2]上g（x）的最大值为g（2）=6；
所以，a²+a+2＞6；
解得：$a＞\frac{{-1+\sqrt{17}}}{2}$或$a＜\frac{{-1-\sqrt{17}}}{2}$；
故答案为：（-∞，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）∪（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，+∞）

点评 本题主要考查了考生对新定义的理解与应用，同时考查了分离参数法以及转化思想的应用，属中等题．