Question

【题目】设，函数，有无数个零点，则实数的最大值为___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据分段函数解析式，当x≤0时，图象是射线；当0＜x≤a时，﹣a＜x﹣a≤0，f（x）＝﹣2f（x﹣a）的图象是把（﹣a，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a个单位长度；当a＜x≤2a时，f（x）＝﹣2f（x﹣a）的图象是把（0，a]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a个单位长度；以此类推，因此如果f（x）有无数个零点，则只要f（x）在（﹣a，0]上有零点即可．

解：因为a＞0，函数，

当x≤0时，图象是射线；

当0＜x≤a时，﹣a＜x﹣a≤0，f（x）＝﹣2f（x﹣a）的图象是把（﹣a，0]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a个单位长度；

当a＜x≤2a时，f（x）＝﹣2f（x﹣a）的图象是把（0，a]的图象每个点纵坐标乘以﹣2，再向右平移a个单位长度；以此类推；

若f（x）有无数个零点，则只要f（x）在（﹣a，0]上有零点，即x∈（﹣a，0]，

∴a∈（，1]，故a的最大值为1；

故答案为：1．