【题目】已知函数f(x)=|2x﹣3|+x+1.
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)当x≥1时,关于x的不等式f(2x)<4x+2a恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)f(x)的最小值为1(2)(0,+∞)
【解析】
(1)根据绝对值的意义,将绝对值符号去掉,分段研究函数的单调性,从而求得函数的最小值;
(2)当x≥1时,2x≥2,所以f(2x)<4x+2a即为32x﹣2<4x+2a,即2a>32x﹣2﹣4x,利用换元,令t=2x,t≥2,式子可转化为2a>﹣t2+3t﹣2,利用最值求得结果.
(1)当x时,f(x)=3x﹣2,f(x)递增,可得f(x)≥1;
当x时,f(x)=4﹣x,f(x)递减,可得f(x),
则f(x)的最小值为1;
(2)当x≥1时,关于x的不等式f(2x)<4x+2a恒成立,
可得2x≥2,f(2x)<4x+2a即为32x﹣2<4x+2a,
即2a>32x﹣2﹣4x,令t=2x,t≥2,可得2a>﹣t2+3t﹣2,
设g(t)=﹣t2+3t﹣2,t≥2,可得g(t)在[2,+∞)递减,g(t)的最大值为g(2)=﹣4+6﹣2=0,
可得2a>0,即a>0,
则a的取值范围是(0,+∞).
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【题目】在上海自贸区的利好刺激下,公司开拓国际市场,基本形成了市场规模;自2014年1月以来的第个月(2014年1月为第一个月)产品的内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量+出口量)分别为、和(单位:万件),依据销售统计数据发现形成如下营销趋势:,(其中,为常数,),已知万件,万件,万件.
(1)求,的值,并写出与满足的关系式;
(2)证明:逐月递增且控制在2万件内;
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【题目】在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到某指挥部(设为B)的电话线路有一处发生了故障.这是一条长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段小段地查找,困难很多,每查一小段需要很长时间.
(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?
(2)要把故障可能发生的范围缩小到,最多要查多少次?
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【题目】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=900,BC=2,AC=,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。
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【题目】已知五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,,CD=2DE=2AD=2AB=4,AC=,.
(1)求证:AB平面ADE;
(2)求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)是R上的奇函数.
(1)若x∈[,],求f(x)的取值范围
(2)若对任意的x1∈[1,,总存在x2∈[,]使得mlog2(﹣6x12+24x1﹣16)﹣f(x2)0(m>0)成立,求实数m的取值范围.
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【题目】设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,,分别为左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线交椭圆于不同两点,.为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
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