【题目】设椭圆的右焦点为
,右顶点为
,已知
,其中
为原点,
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线
与椭圆交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
,若
,且
,求直线的
斜率的取值范围.
【答案】(1) 椭圆方程为;(2) 直线l的斜率的取值范围为
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确a的值,由,得
,再利用
,可解得a的值;(Ⅱ)先化简条件:
,即M再OA的中垂线上,
,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求
;利用两直线方程组求H,最后根据
,列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)解:设,由
,即
,可得
,又
,所以
,因此
,所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)解:设直线的斜率为
(
),则直线
的方程为
.
设,由方程组
,消去
,整理得
.
解得,或
,由题意得
,从而
.
由(Ⅰ)知,,设
,有
,
.
由,得
,所以
,解得
.
因此直线的方程为
.
设,由方程组
消去
,解得
.
在中,
,即
,
化简得,即
,解得
或
.
所以,直线的斜率的取值范围为
.
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【题目】若函数f(x)=[x3+3x2+(a+6)x+6﹣a]e﹣x在区间(2,4)上存在极大值点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣32)
B.(﹣∞,﹣27)
C.(﹣32,﹣27)
D.(﹣32,﹣27]
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【题目】某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择;
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率为 .第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,获得奖金1000元;若未中奖,则所获奖金为0元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 ,每次中奖均可获奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 (元)的分布列;
(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,试比较哪个方案更划算?
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为
,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,M为椭圆上除长轴端点外的任意一点,且△MF1F2的周长为4+2
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点D(0,﹣2)作直线l与椭圆C交于A、B两点,点N满足 (O为原点),求四边形OANB面积的最大值,并求此时直线l的方程.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(1,2),求|PA|+|PB|的最小值.
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【题目】
已知函数,其中
,记函数
的定义域为
.
(1)求函数的定义域
;
(2)若函数的最大值为
,求
的值;
(3)若对于内的任意实数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点
的极坐标为
,直线
的极坐标方程为
,且点
在直线
上.
(1)求 的值及直线
的直角坐标方程;
(2)圆 的极坐标方程为
,试判断直线
与圆
的位置关系.
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【题目】已知三棱柱的底面是正三角形,侧面
为菱形,且
,平面
平面
,
分别是
的中点.
(I)求证:∥平面
;
(II)求证:;
(III)求BA1与平面所成角的大小.
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