Question

3．已知动圆P与圆${F_1}：{（x+3）^2}+{y^2}=81$相切，且与圆${F_2}：{（x-3）^2}+{y^2}=1$相内切，记圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 由已知：F₁（-3，0），r₁=9；F₂（3，0），r₂=1，设所求圆圆心P（x，y），半径为r．作图可得$\left\{\begin{array}{l}|{P{F_1}}|=9-r\\|{P{F_2}}|=r-1\end{array}\right.$，|PF₁|+|PF₂|=8＞6=|F₁F₂|，
利用椭圆的定义及其标准方程即可得出．

解答 解：由已知：F₁（-3，0），r₁=9；F₂（3，0），r₂=1，
设所求圆圆心P（x，y），半径为r．
作图可得$\left\{\begin{array}{l}|{P{F_1}}|=9-r\\|{P{F_2}}|=r-1\end{array}\right.$，则有|PF₁|+|PF₂|=8＞6=|F₁F₂|，
即点P在以F₁（-3，0）、F₂（3，0）为焦点，2a=8，2c=6的椭圆上b²=a²-c²=16-9=7，
则P点轨迹方程为：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、圆与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．