Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，λ∈R．
（1）若向量$\overrightarrow{d}$=（14，-2）且$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，求实数λ的值；
（2）求|$\overrightarrow{c}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直得出数量积为零，列方程解出；
（2）计算${\overrightarrow{c}}^{2}$，根据二次函数的性质求出最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{c}$=（λ-1，2λ+3）．
∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，∴14（λ-1）-2（2λ+3）=0，解得λ=2．
（2）${\overrightarrow{c}}^{2}$=（λ-1）²+（2λ+3）²=5λ²+10λ+10=5（λ+1）²+5．
∴当λ=-1时，${\overrightarrow{c}}^{2}$取得最小值5．
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系，平面向量的模长计算，属于基础题．