Question

4．椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的点P到上顶点距离的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． 不存在最大值

Answer 1

分析 设椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的点P（2cosθ，sinθ），上顶点B（0，1），由此利用两点间距离公式和三角函数性质能求出结果．

解答 解：设椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的点P（2cosθ，sinθ），
上顶点B（0，1），
|PB|=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+（sinθ-1）^{2}}$
=$\sqrt{5-3si{n}^{2}θ-2sinθ}$
=$\sqrt{\frac{16}{3}-3（sinθ+\frac{1}{3}）^{2}}$≤$\sqrt{\frac{16}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的点P到上顶点距离的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆上的点P到上顶点距离的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程和两点间距离公式的合理运用．