Question

19．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在$x=\frac{π}{6}$处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数$g（x）=\frac{{6{{cos}^4}x-{{sin}^2}x-1}}{{{{[{f（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）}]}^2}-2}}$的值域．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$处取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；
（2）由三角函数恒等变换的应用化简可得g（x）=$\frac{3}{2}{cos^2}x+1$，$（{{{cos}^2}x≠\frac{1}{2}}）$，由${cos^2}x∈[{0，\frac{1}{2}}）∪（{\frac{1}{2}，1}]$，即可求得函数g（x）的值域．

解答 解：（1）由题意可得：f（x）_max=A=2，$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}⇒T=π$，
于是$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
故f（x）=2sin（2x+φ），
由f（x）在$x=\frac{π}{6}$处取得最大值2可得：$2×\frac{π}{6}+φ=2kπ+\frac{π}{2}⇒φ=2kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z），
又-π＜φ＜π，故$φ=\frac{π}{6}$，
因此f（x）的解析式为$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
（2）由（1）可得：$f（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）=2sin[{2（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）+\frac{π}{6}}]=2sin（{x+\frac{π}{2}}）=2cosx$，
故$g（x）=\frac{{6{{cos}^4}x-（{1-{{cos}^2}x}）-1}}{{{{（{2cosx}）}^2}-2}}$
=$\frac{{6{{cos}^4}x+{{cos}^2}x-2}}{{4{{cos}^2}x-2}}$
=$\frac{{（{3{{cos}^2}x+2}）（{2{{cos}^2}x-1}）}}{{2（{2{{cos}^2}x-1}）}}$
=$\frac{{3{{cos}^2}x+2}}{2}$
=$\frac{3}{2}{cos^2}x+1$，$（{{{cos}^2}x≠\frac{1}{2}}）$，
令t=cos²x，可知0≤t≤1且$t≠\frac{1}{2}$，
即${cos^2}x∈[{0，\frac{1}{2}}）∪（{\frac{1}{2}，1}]$，
从而$g（x）∈[{1，\frac{7}{4}}）∪（{\frac{7}{4}，\frac{5}{2}}]$，
因此，函数g（x）的值域为$[{1，\frac{7}{4}}）∪（{\frac{7}{4}，\frac{5}{2}}]$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数恒等变换的应用，函数的单调性，考查了转化思想和计算能力，正确求函数的解析式是关键，属于中档题．