Question

10．已知（1，2）是直线l被椭圆$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$所截得的线段的中点，则直线l的方程是x+8y-17=0．

Answer 1

分析 设直线l与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．代入相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{64}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{16}$=0，利用$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，$k=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，即可得出k．

解答 解：设直线l与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{64}+\frac{{y}_{1}^{2}}{16}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{64}+\frac{{y}_{2}^{2}}{16}$=1，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{64}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{16}$=0，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，$k=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
∴$\frac{2}{64}+\frac{4k}{16}$=0，
解得k=-$\frac{1}{8}$．
∴直线l的方程为：y-2=-$\frac{1}{8}$（x-1），
化为：x+8y-17=0．
故答案为：x+8y-17=0．

点评 本题考查了“点差法”、中点坐标公式、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．