Question

2．设点P、Q分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，线段PQ中点为M（x₀，y₀），且x₀+y₀＞4，则$\frac{y_0}{x_0}$的取值范围为[1，3）．

Answer 1

分析 设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则3x₁-y₁-5=0，3x₂-y₂-13=0，两式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0，设M（x₀，y₀），则由中点的坐标公式可得3x₀-y₀-4=0，又x₀+y₀＞4即点M在直线x+y=4上或者其右上方区域，画图得到M位于以（2，2）为端点向上的射线上，数形结合可得答案．

解答 解：设P，Q两点的坐标为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵点P，Q分别在直线3x-y+5=0和3x-y-13=0上运动，
∴3x₁-y₁-5=0，①
3x₂-y₂-13=0，②
两式相加得3（x₁+x₂）-（y₁+y₂）-8=0．
设线段PQ的中点M（x₀，y₀），
则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
∴3x₀-y₀-4=0．
即y₀=3x₀-4．
又M点的坐标满足x₀+y₀＞4，即M恒在直线x+y=4上或者其右上方区域，
∴线段PQ的中点M满足，如图．

联立 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=3x-4}\end{array}\right.$，解得M（2，2），
∴M位于以（2，2）为端点向上的射线上，
当M（2，2）时，k_OM=1，
∴直线OM斜率的取值范围是（1，3）．

点评 本题考查了直线的斜率，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，属于中档题．