Question

11．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=A•2ⁿ-B，且A+B=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵前n项和S_n=A•2ⁿ-B，
∴a₁=2A-B，a₁+a₂=4A-B，a₁+a₂+a₃=8A-B，
解得a₁=2A-B，a₂=2A，a₃=4A，
由${a}_{2}^{2}$=a₁a₃可得：4A²=（2A-B）×4A，又A+B=2．
联立解得A=B=1，
∴a₁=1，a₂=2，∴q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．