Question

6．点D是△ABC中AB边的中点，CA=CB，E是CD的中点，AE的延长线交BC于F，记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
• C． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 可画出图形，由条件及图形便可得出$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AF}$与$\overrightarrow{AE}$共线，从而得到$\overrightarrow{AF}=\frac{k}{2}\overrightarrow{a}+\frac{k}{2}\overrightarrow{b}$，而由B，F，C三点共线便可以得出$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{AC}=\frac{1+λ}{2}\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow{b}$，从而根据平面向量基本定理便可得出$\frac{1+λ}{2}=1-λ$，这样即可解出λ，从而可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AF}$．

解答 解：如图，根据条件：
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AE}=\frac{k}{2}\overrightarrow{a}+\frac{k}{2}\overrightarrow{b}$；
B，F，C三点共线，∴$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AB}+（1-λ）（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）$=$\frac{1+λ}{2}\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{DC}=\frac{1+λ}{2}\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow{b}$；
∴$\frac{1+λ}{2}=1-λ$；
解得$λ=\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$．
故选：C．

点评 考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，共线向量基本定理，平面向量基本定理．