Question

1．在正项等比数列{a_n}中，a₁a₅-2a₃a₅+a₃a₇=36，a₂a₄+2a₂a₆+a₄a₆=100，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知式子可得a₃和a₅的值，分别可得q，可得通项公式．

解答 解：∵在正项等比数列{a_n}中a₁a₅-2a₃a₅+a₃a₇=36，a₂a₄+2a₂a₆+a₄a₆=100，
∴由等比数列的性质可得a₃²-2a₃a₅+a₅²=36，a₃²+2a₃a₅+a₅²=100，
∴（a₃-a₅）²=36，（a₃+a₅）²=100，
∴a₃-a₅=±6，a₃+a₅=10，
当a₃-a₅=6，a₃+a₅=10时，可解得a₃=8，a₅=2，
此时公比q=$\sqrt{\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}}$=$\frac{1}{2}$，a_n=8×（$\frac{1}{2}$）^n-3=（$\frac{1}{2}$）^n-6；
当a₃-a₅=-6，a₃+a₅=10时，可解得a₃=2，a₅=8；
此时公比q=$\sqrt{\frac{{a}_{5}}{{a}_{3}}}$=2，a_n=2×2^n-3=2^n-2；

点评 本题考查等比数列的通项公式，涉及方程组的解法和分类讨论思想，属基础题．