Question

16．已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，角B为锐角，向量$\overrightarrow{m}$=（2sin（A+C），$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²B-1，cosB），且$\overrightarrow{m}$$∥\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行列出方程，使用三角函数公式化简可求得tan2B，结合B的范围得出B的值；
（2）利用余弦定理求出ac的范围，代入面积公式得出面积的最大值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（2sin（A+C），$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²B-1，cosB），$\overrightarrow{m}$$∥\overrightarrow{n}$，
∴2sin（A+C）cosB-$\sqrt{3}$（2cos²B-1）=0．
即sin2B-$\sqrt{3}$cos2B=0，∴tan2B=$\sqrt{3}$．
在△ABC中，∵角B为锐角，∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-1}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．∴a²+c²=$\sqrt{3}$ac+1≥2ac，∴ac≤2$+\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{4}$ac≤$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC的面积的最大值是$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，余弦定理，基本不等式的应用，属于基础题．