Question

7．已知抛物线C的顶点是椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的中心O，焦点与椭圆E的右焦点重合．过抛物线C的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且$|AB|=\frac{5}{2}p$．
（1）求抛物线的方程；
（2）求直线AB所在的方程．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的右焦点，设抛物线的方程为y²=2px，可得$\frac{p}{2}$=1，即可得到抛物线的方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），代入抛物线的方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求直线的方程．

解答 解：（1）椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
右焦点为（1，0），
设抛物线的方程为y²=2px，
可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
则抛物线的方程为y²=4x；     
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入抛物线的方程可得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
由抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{5}{2}$p，
即为2+$\frac{4}{{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$×2=3，
解得k=±2，
则所求直线的方程为y=2x-2或y=-2x+2．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查直线的方程的求法，注意运用直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．