Question

12．设F是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，分别过A，B作椭圆C的切线并相交于点P，线段OP（O为坐标原点）交椭圆C于点Q，满足$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{QP}$，且$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{OF}=0$，则椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{OF}=0$，可取Q$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，由于$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{QP}$，可得P$（-\frac{3c}{2}，\frac{3{b}^{2}}{2a}）$．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得过点A，B的切线方程分别为：$\frac{{x}_{1}x}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}y}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}y}{{b}^{2}}$=1．联立解得P．设直线AB的方程为：y=k（x+c），可得x_P=-$\frac{{a}^{2}k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}k（{x}_{2}+c）-{x}_{2}k（{x}_{1}+c）}$=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，于是$-\frac{3c}{2}$=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{FQ}•\overrightarrow{OF}=0$，∴可取Q$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，
∵满足$\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{QP}$，∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{OQ}$，
∴P$（-\frac{3c}{2}，\frac{3{b}^{2}}{2a}）$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得过点A，B的切线方程分别为：$\frac{{x}_{1}x}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}y}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}y}{{b}^{2}}$=1．
联立解得P$（\frac{-{a}^{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}，\frac{{b}^{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}）$．
设直线AB的方程为：y=k（x+c），
∴x_P=-$\frac{{a}^{2}k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}k（{x}_{2}+c）-{x}_{2}k（{x}_{1}+c）}$=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴$-\frac{3c}{2}$=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交相切问题、向量线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．