Question

2．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a-2sin²x（a∈R，a为常数）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单凋递减区间；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）化简三角函数解析式为2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1+a，根据周期的定义求出即可，
（2）根据三角函数的单调性即可求出单调区间，
（3）利用三角函数的性质求最值，得到a的值．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a-2sin²x，
=sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$+sin2xcos$\frac{π}{6}$-cos2xsin$\frac{π}{6}$+cos2x-1+a，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1+a，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1+a，
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函数的单凋递减区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z，
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x） 在[0，$\frac{π}{6}$]为单调递增，在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上单调递减，
∴f（0）=a，f（$\frac{π}{2}$）=2sin（π+$\frac{π}{6}$）-1+a=-2+a，
∴最小值为-2+a，
∵f（x）的最小值为-2，
∴-2+a=-2，
∴a=0．

点评 本题考查了三角函数的化简以及性质的运用；首先要利用三角函数的公式化简解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用其性质求周期及最值等，属于中档题．