Question

13．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别是F₁，F₂，如果椭圆C上的动点到点F₁的距离的最大值是$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，短轴一个端点到点F₂的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F₂且斜率为1的直线l与椭圆C交于A、B两点，求△ABF₁的面积．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的半焦距为c，从而可得$a=\sqrt{3}$，b=1，$c=\sqrt{2}$；
（2）设直线l的方程为$x=y+\sqrt{2}$，联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=y+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$化简，结合韦达定理求解．

解答 解：（1）设椭圆的半焦距为c，
故$a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$a=\sqrt{3}$，
∴b=1，$c=\sqrt{2}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）设直线l的方程为$x=y+\sqrt{2}$，
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=y+\sqrt{2}}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，
化简得$4{y^2}+2\sqrt{2}y-1=0$，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得${y_1}+{y_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{y_1}{y_2}=-\frac{1}{4}$．
故△ABF₁的面积
S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{1}{2}+1}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆锥曲线与直线的位置关系的应用及学生的化简运算能力，属于中档题．