Question

10．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=$\sqrt{t+1}$，AD=$\sqrt{t+2}$，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． t
• D． 2t

Answer 1

分析 连结BC，CD，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=AB²，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=AD²．于是$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$．

解答 解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=AB×AC×cos∠BAC=AB²=t+1．
$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=AD×AC×cos∠CAD=AD²=t+2．
∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=1．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，使用圆周角定理计算向量的数量是解题关键．