Question

11．已知椭圆E的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁且斜率为$\frac{4}{3}$的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF₁F₂为直角三角形，则椭圆E的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{7}$或$\frac{5}{7}$
• D． $\frac{5}{7}$或$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 通过椭圆的定义可得PF₁、PF₂，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．

解答 解：由题可知：$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}=\frac{4}{3}$，即PF₂=$\frac{4}{3}$PF₁，
又PF₂+PF₁=2a，∴PF₁=$\frac{6}{7}$a，PF₂=$\frac{8}{7}$a，
由勾股定理可知：$4{c}^{2}=（\frac{6}{7}a）^{2}+（\frac{8}{7}a）^{2}=\frac{100}{49}{a}^{2}$，
即：${c}^{2}=\frac{25}{49}{a}^{2}$，
∴$（\frac{c}{a}）^{2}=\frac{25}{49}$，则e=$\frac{5}{7}$；
或$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{4}{3}$，$P{F}_{2}=\frac{8}{3}c$，则$P{F}_{1}=2a-\frac{8}{3}c$，
由$P{{F}_{1}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}$，解得e=$\frac{1}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查求椭圆的离心率，涉及到三角函数的定义、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．