Question

3．F₁，F₂分别是椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A（3，0），F₂恰为线段AF₁的中点，椭圆Γ的离心率为$\frac{1}{2}$（I）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆Γ在第一象限上的任一点，连接PF₁，PF₂，过P点作斜率为k的直线l，使得l与椭圆Γ有且只有一个公共点，设直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，试证明$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用中点坐标公式求出c，利用离心率公式，通过椭圆值a、b、c的关系，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l方程为y=kx+m，并设点P（x₀，y₀），联立直线与椭圆方程利用相切推出k、m的关系式，求出的横坐标，直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，推出k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，代入$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$中，即可求出这个定值．

解答 解：（I）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
设F₁（-c，0），F₂（c，0），由F₂恰为线段AF₁的中点，
可得3-c=2c，解得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设直线l方程为y=kx+m，并设点P（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$⇒（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵△=0⇒m²=3+4k²，
x₀=-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{4k}{m}$＞0，
当k＞0时，m＜0，直线与椭圆相交；
∴k＜0，m＞0，m²=3+4k²⇒m=$\sqrt{\frac{12}{4-{{x}_{0}}^{2}}}$，
由$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1⇒y₀²=$\frac{3（4-{{x}_{0}}^{2}）}{4}$，
得m=$\frac{3}{{y}_{0}}$，
∴k=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，y=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$x+$\frac{3}{{y}_{0}}$，整理得：$\frac{{x}_{0}x}{4}$+$\frac{{y}_{0}y}{3}$=1．
而k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，代入$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$中得
$\frac{1}{k{k}_{1}}$+$\frac{1}{k{k}_{2}}$=-$\frac{4{y}_{0}}{3{x}_{0}}$（$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$）=-$\frac{8}{3}$为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，轨迹方程的求法，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．