Question

2．在正三棱柱△ABC-△A₁B₁C₁中，AB=1，点D在棱BB₁上，若BD=1，则AD与平面AA₁C₁C所成角的正切值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 利用正三棱柱的性质找出AD在平面AA₁C₁C内的射影，进而得到线面角，解直角三角形求出此角的正切值．

解答 解：如图，取C₁A₁、CA的中点E、F，
连接B₁E与BF，则B₁E⊥平面CAA₁C₁，
过D作DH∥B₁E，则DH⊥平面CAA₁C₁，
连接AH，则∠DAH为AD与平面AA₁C₁C所成角．
作DE⊥面AA₁C₁C于E，连接AE，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，
∴AD=$\sqrt{2}$，DH=B₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
∴tan∠DAH=$\frac{DH}{AH}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题以正三棱柱为载体，考查线面角，关键是找出AD在平面AA₁C₁C内的射影．