Question

7．已知m∈R，直线l：mx-（m²+1）y=4m和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l与圆C相交于A、B两点，若△ABC的面积为$\frac{8}{5}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线l的方程求出斜率，利用基本不等式求出斜率的取值范围；
（Ⅱ）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出弦长，计算△ABC的面积，从而求出直线的斜率与方程．

解答 解：（1）直线l的方程可化为$y=\frac{m}{{{m^2}+1}}x-\frac{4m}{{{m^2}+1}}$，
所以直线l的斜率为$k=\frac{m}{{{m^2}+1}}$，--（2分）
因为|m|≤$\frac{1}{2}$（m²+1），所以|k|=$\frac{|m|}{{m}^{2}+1}$≤$\frac{1}{2}$，当且仅当|m|=1时等号成立；
所以，斜率k的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；--（4分）
（2）由（1）知l的方程为y=k（x-4），其中|k|≤$\frac{1}{2}$；
圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2，--（5分）
圆心C到直线l的距离为$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$；--（6分）
所以${（\frac{|AB|}{2}）}^{2}$=r²-d²=4-$\frac{4}{1{+k}^{2}}$
|AB|=$\frac{4|k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，--（8分）
所以三角形ABC的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{4|k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$•$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=$\frac{8}{5}$，
所以$\frac{4|k|}{{1+{k^2}}}=\frac{8}{5}$，
解得$k=±\frac{1}{2}$；--（9分）
所以，所求的直线方程为x-2y-2=0或x+2y-2=0．--（10分）

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，考查了勾股定理的应用问题，是综合性题目．