Question

1．已知函数y=sin²x+2sinxcosx-3cos²x，x∈R．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的值域；
（3）求函数的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和两角差的正弦函数公式化简整理求得函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（2）根据（1）中函数的解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．
（3）利用正弦函数的单调性可得2k$π+\frac{π}{2}$≤2x-arctan2≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z，其中φ=arctan2，即可解得函数的单调递减区间．

解答 解：（1）∵y=sin²x+2sinxcosx-3cos²x
=$\frac{1-cos2x}{2}$+sin2x-3×$\frac{1+cos2x}{2}$
=sin2x-2cos2x-1
=$\sqrt{5}$sin（2x-φ）-1，其中，tanφ=2，
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵由（1）可得：y=$\sqrt{5}$sin（2x-φ）-1，其中，tanφ=2，
∵sin（2x-φ）∈[-1，1]，
∴y∈[-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1]．
故函数的值域为[-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1]．
（3）∵由2k$π+\frac{π}{2}$≤2x-arctan2≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴可得：$\frac{2kπ+\frac{π}{2}+arctan2}{2}$≤x≤$\frac{2kαπ+\frac{3π}{2}+arctan2}{2}$，k∈Z，
∴函数的单调减区间为：[$\frac{2kπ+\frac{π}{2}+arctan2}{2}$，$\frac{2kαπ+\frac{3π}{2}+arctan2}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了二倍角公式和两角差的正弦函数公式化简求值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．