Question

13．已知函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+cos（ωx-$\frac{π}{3}$）-2sin²$\frac{ωx}{2}$（ω＞0）的周期为π．
（I）求ω的值；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （I）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（Ⅱ）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答 解：（I）∵函数f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+cos（ωx-$\frac{π}{3}$）-2sin²$\frac{ωx}{2}$ 
=sinωxcos$\frac{π}{6}$-cosωxsin$\frac{π}{6}$+cosωxcos$\frac{π}{3}$+sinωxsin$\frac{π}{3}$-2•$\frac{1-cosωx}{2}$
=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1（ω＞0）的周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴sin（ωx+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1的值域为[-2，1]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．