Question

3．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，若x∈[2，3]时，f（x）=x．
（1）求证：f（x）为周期函数；
（2）求f（5.5）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数周期性的定义即可证明f（x）为周期函数；
（2）根据函数奇偶性和周期性的关系将函数进行转化即可求f（5.5）的值．

解答 解：（1）∵f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1}{f（x+2）}$=$\frac{1}{\frac{1}{f（x）}}$=f（x），
则函数f（x）是周期为4的周期函数；
（2）∵函数f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（5.5）=f（5.5-4）=f（1.5）=f（1.5-4）=f（-2.5），
∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，若x∈[2，3]时，f（x）=x．
∴f（-2.5）=f（2.5）=2.5，
故f（5.5）=2.5．

点评 本题主要考查周期函数的判断以及函数值的计算，利用周期函数的定义以及函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．