Question

18．已知椭圆C与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦点，且椭圆C经过点P（2，-3），求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为（0，±$\sqrt{5}$），设椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），代入P的坐标，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆C的方程．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为（0，±$\sqrt{5}$），
设椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得a²-b²=5，
$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{15}$，b=$\sqrt{10}$，
即有椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{15}$+$\frac{{x}^{2}}{10}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，点满足椭圆方程，考查运算能力，属于基础题．