Question

9．已知函数y=x³+px²+qx，其图象与x轴切于非原点的一点，且该函数的极小值是-4，那么切点坐标为（-3，0）．

Answer 1

分析 设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x²+px+q）．由题意得：方程x²+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，再利用y_极小值=-4，可求a=-3，从而得到切点．

解答 解：设切点（a，0）（a≠0），
f（x）=x（x²+px+q），
由题意得：方程x²+px+q=0有两个相等实根a，
故可得f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x
f′（x）=3x²-4ax+a²=（x-a）（3x-a），
令f′（x）=0，则x=a或$\frac{a}{3}$，
∵f（a）=0≠-4，
∴f（$\frac{a}{3}$）=-4，
于是$\frac{a}{3}$（$\frac{a}{3}$-a）²=-4，
∴a=-3，
即有切点为（-3，0），
故答案为：（-3，0）．

点评 本题以函数为载体，考查函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题．