Question

14．定义域为[a，b]的函数f（x）的图象的左、右端点分别为A、B，点M（x，y）是f（x）的图象上的任意一点，且x=λa+（1-λ）b（λ∈R）．向量$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$，其中O为坐标原点．若|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性相似”．若函数y=x²-3x+2在[1，3]上“k阶线性相似”，则实数k的取值范围为（　　）

• A． [0，+∞]
• B． [1，+∞]
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞]
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根据条件可以得到M，N点的横坐标相同，且点N在直线AB上，而可以求出A，B两点的坐标，从而可以得到直线AB的方程为y=x-1，这样即可得出$|\overrightarrow{MN}|=|{x}^{2}-4x+3|$．而根据x的范围即可求出$|\overrightarrow{MN}|$的范围，即得出$|\overrightarrow{MN}|$的最大值，从而便可得出实数k的取值范围．

解答 解：由题意，M，N点的横坐标相同，$|\overrightarrow{MN}|≤k$，即$|\overrightarrow{MN}{|}_{max}≤k$；
∵A（1，0），B（3，2）；
∴直线AB的方程为y=x-1；
根据题意知，点N在直线AB上；
∴$|\overrightarrow{MN}|=|{x}^{2}-3x+2-x+1|=|{x}^{2}-4x+3|$；
∵x∈[1，3]，x²-4x+3=0的两根为1，3；
∴|x²-4x+3|∈[0，1]；
∴$|\overrightarrow{MN}{|}_{max}=1$；
∴1≤k；
∴实数k的取值范围为[1，+∞）．
故选：B．

点评 考查向量坐标的加法和数乘运算，理解“k阶线性相似”的概念，由$\overrightarrow{ON}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$知N，A，B三点共线，横坐标相同的两点距离的求法，要熟悉二次函数的图象．