Question

4．已知：平面上两个不相等向量，$\overrightarrow{m}$=（3，4），$\overrightarrow{n}$=（x+1，2x）
（1）若（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）⊥（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$），求实数x；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=14，求$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的垂直的条件得到关于x的方程，解得即可，
（2）先根据向量的数量积求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（3，4），$\overrightarrow{n}$=（x+1，2x），（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）⊥（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$），
∴（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）•（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）=$\overrightarrow{m}$²-$\overrightarrow{n}$²=3²+4²-（x+1）^2--4x²=0，
∴x=-$\frac{12}{5}$或x=2，
（2）∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=14，
∴3（x+1）+4×2x=14，
∴x=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，2），
∴|$\overrightarrow{n}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{m}$|=5，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{14}{2\sqrt{2}×5}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查了向量垂直的条件以及向量的夹角公式，属于基础题．